Dmitriytishanskiy.ru

Онлайн уроки
0 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Пределы видео уроки для студентов

Видео-лекции по высшей математике

читает д.ф.м.н. профессор СЗГЗТУ Потапенко Александр Алексеевич

Для просмотра видеороликов на компьютере должен быть установлен flash pleyer

  • системы двух линейных уравнений (продолжение);
  • миноры и алгебраические дополнения;
  • вычисление определителя 3-го порядка.
  • миноры и алгебраические дополнения;
  • транспонированная матрица;
  • свойства определителя n-го порядка;
  • решение систем трех линейных уравнений;
  • формулы Крамера;
  • прямоугольные матрицы;
  • однострочные и одностолбцовые матрицы;
  • нулевая, единичная и диагональная матрицы;
  • сложение и умножение матриц.
  • обратная матрица и матричный метод решения систем линейных уравнений (окончание);
  • определение вектора, длина вектора, свободные вектора;
  • коллинеарные и компланарные вектора;
  • правая и левая тройка векторов;
  • проекция вектора и сложение векторов;
  • базис на плоскости и в пространстве;
  • координаты векторов в данном базисе.
  • координаты суммы и разности векторов;
  • произведение вектора на число;
  • скалярное произведение векторов и его свойства;
  • векторное произведение и его свойства.
  • вычисление векторного произведения через координаты векторов;
  • вычисление площади треугольника;
  • определение и свойства смешанного произведения векторов;
  • объем параллелепипеда и треугольной пирамиды.
  • общее уравнение прямой на плоскости;
  • общее уравнение плоскости в пространстве;
  • нормальный вектор плоскости;
  • общее уравнение прямой в пространстве;
  • уравнение прямой на плоскости с угловым коэффициентом;
  • уравнение прямой проходящей через данную точку в данном направлении;
  • каноническое уравнение прямой на плоскости;
  • параметрическое уравнение прямой;
  • уравнение прямой проходящей через две данные точки;
  • уравнение плоскости проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору;
  • уравнение плоскости, проходящей через данную точку параллельно двум данным векторам;
  • уравнение плоскости, проходящей через три данные точки.
  • векторно-параметрическое уравнение;
  • каноническое уравнение;
  • уравнение прямой, проходящей через две данные точки.

Линии второго порядка на плоскости

  • уравнение эллипса и его свойства;
  • полуоси, фокусы и эксцентриситет эллипса;
  • уравнение гиперболы и ее свойства;
  • вершины, асимптоты, эксцентриситет и фокусы гиперболы.
  • уравнение параболы и ее свойства;
  • фокус, директриса, эксцентриситет параболы.

Поверхности второго порядка

  • определение и уравнение эллипсоида;
  • полуоси и вершины эллипсоида;
  • чертеж эллипсоида;
  • сфера — частный случай эллипсоида;
  • уравнение однополостного гиперболоида;
  • чертеж однополостного гиперболоида;
  • уравнение двухполостного гиперболоида;
  • чертеж двухполостного гиперболоида;
  • уравнение конуса второго порядка;
  • чертеж конуса второго порядка;
  • уравнение эллиптического параболоида;
  • чертеж эллиптического параболоида;
  • уравнение гиперболического параболоида;
  • чертеж гиперболического параболоида.
  • эпсилон окрестность точки;
  • левая и правая зпсилон окрестность точки;
  • понятие функции;
  • область определения функции;
  • сложная функция;
  • числовая последовательность;
  • предел числовой последовательности;
  • предел функции;
  • левосторонний и правосторонний пределы функции;
  • бесконечно малая и бесконечно большая функция;
  • свойства пределов функции;
  • непрерывность функции;
  • свойства непрерывных функций;
  • примеры вычисления пределов.
  • эквивалентные бесконечно малые величины;
  • примеры вычисления пределов с помощью бесконечно малых величин;
  • точки разрыва функции;
  • устранимые и неустранимые точки разрыва;
  • точки разрыва I и II рода;
  • пример исследования функции на наличие точек разрыва;
  • определение производной.
  • геометрический смысл производной;
  • уравнение касательной к плоской кривой;
  • правила дифференцирования;
  • таблица производных;
  • примеры вычисления производных;
  • дифференциал функции;
  • производные высшего порядка;
  • производная функций, заданных параметрически.
  • определение первообразной;
  • определение неопределенного интеграла;
  • равенство с точностью до произвольной постоянной;
  • теорема существования неопределенного интеграла;
  • свойства неопределенного интеграла.
  • непосредственное интегрирование;
  • примеры вычисления интегралов:
  • интегрирование тригонометрических выражений.

Пределы в математике для чайников: объяснение, теория, примеры решений

Доверь свою работу кандидату наук!

Теория пределов – раздел математического анализа. Наряду с системами линейных уравнений и диффурами пределы доставляют всем студентам, изучающим математику, немало хлопот. Чтобы решить предел, порой приходится применять массу хитростей и выбирать из множества способов решения именно тот, который подойдет для конкретного примера.

В этой статье мы не поможем вам понять пределы своих возможностей или постичь пределы контроля, но постараемся ответить на вопрос: как понять пределы в высшей математике? Понимание приходит с опытом, поэтому заодно приведем несколько подробных примеров решения пределов с пояснениями.

Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.

Понятие предела в математике

Первый вопрос: что это вообще за предел и предел чего? Можно говорить о пределах числовых последовательностей и функций. Нас интересует понятие предела функции , так как именно с ними чаще всего сталкиваются студенты. Но сначала — самое общее определение предела:

Допустим, есть некоторая переменная величина. Если эта величина в процессе изменения неограниченно приближается к определенному числу a, то a – предел этой величины.

Читать еще:  Вязаные шапки видео уроки

Для определенной в некотором интервале функции f(x)=y пределом называется такое число A, к которому стремится функция при х, стремящемся к определенной точке а. Точка а принадлежит интервалу, на котором определена функция.

Звучит громоздко, но записывается очень просто:

Lim — от английского limit — предел.

Существует также геометрическое объяснение определения предела, но здесь мы не будем лезть в теорию, так как нас больше интересует практическая, нежели теоретическая сторона вопроса. Когда мы говорим, что х стремится к какому-то значению, это значит, что переменная не принимает значение числа, но бесконечно близко к нему приближается.

Приведем конкретный пример. Задача — найти предел.

Чтобы решить такой пример, подставим значение x=3 в функцию. Получим:

Кстати, если Вас интересуют базовые операции над матрицами, читайте отдельную статью на эту тему.

В примерах х может стремиться к любому значению. Это может быть любое число или бесконечность. Вот пример, когда х стремится к бесконечности:

Интуитивно понятно, что чем больше число в знаменателе, тем меньшее значение будет принимать функция. Так, при неограниченном росте х значение 1/х будет уменьшаться и приближаться к нулю.

Как видим, чтобы решить предел, нужно просто подставить в функцию значение, к которому стремиться х. Однако это самый простой случай. Часто нахождение предела не так очевидно. В пределах встречаются неопределенности типа 0/0 или бесконечность/бесконечность. Что делать в таких случаях? Прибегать к хитростям!

Неопределенности в пределах

Неопределенность вида бесконечность/бесконечность

Пусть есть предел:

Если мы попробуем в функцию подставить бесконечность, то получим бесконечность как в числителе, так и в знаменателе. Вообще стоит сказать, что в разрешении таких неопределенностей есть определенный элемент искусства: нужно заметить, как можно преобразовать функцию таким образом, чтобы неопределенность ушла. В нашем случае разделим числитель и знаменатель на х в старшей степени. Что получится?

Из уже рассмотренного выше примера мы знаем, что члены, содержащие в знаменателе х, будут стремиться к нулю. Тогда решение предела:

Для раскрытия неопределенностей типа бесконечность/бесконечность делим числитель и знаменатель на х в высшей степени.

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Еще один вид неопределенностей: 0/0

В таких случаях рекомендуется раскладывать числитель и знаменатель на множители. Но давайте посмотрим на конкретный пример. Нужно вычислить предел:

Как всегда, подстановка в функцию значения х=-1 дает в числителе и знаменателе. Посмотрите чуть внимательнее и Вы заметите, что в числителе у нас квадратное уравнение. Найдем корни и запишем:

Сократим и получим:

Итак, если Вы сталкиваетесь с неопределенностью типа 0/0 – раскладывайте числитель и знаменатель на множители.

Чтобы Вам было проще решать примеры, приведем таблицу с пределами некоторых функций:

Правило Лопиталя в пределах

Еще один мощный способ, позволяющий устранить неопределенности обоих типов. В чем суть метода?

Если в пределе есть неопределенность, берем производную от числителя и знаменателя до тех пор, пока неопределенность не исчезнет.

Наглядно правило Лопиталя выглядит так:

Важный момент : предел, в котором вместо числителя и знаменателя стоят производные от числителя и знаменателя, должен существовать.

А теперь – реальный пример:

Налицо типичная неопределенность 0/0. Возьмем производные от числителя и знаменателя:

Вуаля, неопределенность устранена быстро и элегантно.

Надеемся, что Вы сможете с пользой применить эту информацию на практике и найти ответ на вопрос «как решать пределы в высшей математике». Если нужно вычислить предел последовательности или предел функции в точке, а времени на эту работу нет от слова «совсем», обратитесь в профессиональный студенческий сервис за быстрым и подробным решением.

Пределы видео уроки для студентов

  • Урок 1. Определители
  • Урок 2. Операции над матрицами
  • Урок 3. Ранг матрицы
  • Урок 4. Обратная матрица. Матричные уравнения
  • Урок 5. Системы линейных уравнений. Формулы Крамера
  • Урок 6. Системы линейных уравнений. Метод обратной матрицы
  • Урок 7. Системы линейных уравнений. Метод Гаусса
  • Урок 8. Системы однородных линейных уравнений. Фундаментальные решения
  • Контрольная работа

  • Урок 1. Комплексные числа. Определения. Геометрические изображения комплексных чисел. Формы записи комплексных чисел
  • Урок 2. Действия над комплексными числами. Теория
  • Урок 3. Действия над комплексными числами. Практика
  • Урок 4. Уравнения в комплексных числах
  • Контрольная работа
Читать еще:  Бесплатные уроки английского языка видео с нуля

  • Урок 1. Последовательность
  • Урок 2. Предел последовательности
  • Урок 3. Функции и их свойства
  • Урок 4. Предел функции
  • Урок 5. Первый замечательный предел
  • Урок 6. Второй замечательный предел
  • Урок 7. Непрерывность и точки разрыва функции
  • Контрольная работа

  • Урок 1. Производная. Определение. Правила вычисления производных. Таблица производных элементарных функций
  • Урок 2. Производная сложной функции
  • Урок 3. Производная функции, заданной параметрически
  • Урок 4. Производная неявной функции
  • Урок 5. Производные высших порядков
  • Урок 6. Дифференциал
  • Урок 7. Касательная и нормаль
  • Урок 8. Правило Лопиталя
  • Урок 9. Формула Тейлора
  • Контрольная работа

  • Урок 1. Общая схема исследования функции. Возрастание/убывание. Экстремумы. Выпуклость/вогнутость/точки перегиба. Асимптоты
  • Урок 2. Степенные функции и многочлены
  • Урок 3. Дробно-рациональные функции
  • Урок 4. Иррациональные функции
  • Урок 5. Тригонометрические функции
  • Урок 6. Показательные функции
  • Урок 7. Логарифмические функци
  • Контрольная работа

  • Урок 1. Табличное интегрирование
  • Урок 2. Интегрирование заменой переменной
  • Урок 3. Интегрирование по частям
  • Урок 4. Интегралы содержащие квадратный трехчлен
  • Урок 5. Интегрирование рациональных функций
  • Урок 6. Интегрирование иррациональных функций
  • Урок 7. Интегрирование тригонометрических функций
  • Урок 8. Смешанные примеры на интегрирование
  • Контрольная работа

  • Координаты на прямой и на плоскости
  • Расстояние
  • Уравнение прямой
  • Окружность
  • Эллипс
  • Гипербола
  • Парабола

  • Координаты в пространстве
  • Расстояние
  • Уравнение прямой
  • Уравнение плоскости
  • Поверхности второго порядка

  • Векторы
  • Действия над векторами
  • Линейная независимость
  • Разложение векторов
  • Скалярное произведение
  • Векторное произведение
  • Смешанное произведение

Высшая математика состоит из большого количества разделов, и пробелы в любом из них несут проблемы в остальных. Поэтому времени «на раскачку» нет, надо сразу включаться в работу и закрывать возникающие вопросы. В первую очередь высшая математика — это умение решать задачи. По своему опыту могу сказать, что любому студенту, владеющему базовыми школьными знаниями математики на должном уровне, по силам освоить и высшую.

Как решать пределы для чайников?

Для тех, кто хочет научиться находить пределы в данной статье мы расскажем об этом. Не будем углубляться в теорию, обычно её дают на лекциях преподаватели. Так что «скучная теория» должна быть у Вас законспектирована в тетрадках. Если этого нет, то почитать можно учебники взятые в библиотеке учебного заведения или на других интернет-ресурсах.

Итак, понятие предела достаточно важно в изучении курса высшей математики, особенно когда вы столкнетесь с интегральным исчислением и поймёте связь между пределом и интегралом. В текущем материале будут рассмотрены простые примеры, а также способы их решения.

Примеры решений

а) $$ lim limits_ frac<1> = infty $$

Нам часто присылают эти пределы с просьбой помочь решить. Мы решили их выделить отдельным примером и пояснить, что данные пределы необходимо просто запомнить, как правило.

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Внимание «чайникам» 🙂 Чтобы вычислить предел любого типа и вида нужно подставить значение x, указанное под пределом, в функцию, стоящую под знаком предела. Давайте попробуем это сделать:

Как видим в итоге у нас вычислился предел, результатом стала двойка. Хорошо, когда так получается, но бывает так, что результатом становятся неопределенности. Попробуем разобраться с ними — это не так страшно как кажется 🙂

Что делать с неопределенностью вида: $ bigg [frac<0> <0>bigg ] $

Как всегда начинаем с подстановки значения $ x $ в выражение, стоящее под знаком предела.

Что теперь дальше? Что же должно получиться в итоге? Так как это неопределенность, то это ещё не ответ и продолжаем вычисление. Так как в числители у нас многочлен, то разложим его на множители, помощью знакомой всем формулы ещё со школьной скамьи $$ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $$. Вспомнили? Отлично! Теперь вперед и с песней применять её 🙂

Получаем, что числитель $ x^2-1=(x-1)(x+1) $

Продолжаем решать учитывая вышеприведенное преобразование:

Бесконечность получилась в результате — это следует из примера 1. Когда число делится на 0 под знаком предела, то получается бесконечность.

Устремим предел в последних двух примерах к бесконечности и рассмотрим неопределенность: $ bigg [frac bigg ] $

Что же делать? Как быть? Не стоит паниковать, потому что невозможное — возможно. Нужно вынести за скобки и в числителе и в знаменателе икс, а потом его сократить. После этого предел попытаться вычислить. Пробуем.

Используя определение из примера 2 и подставляя в место х бесконечность получаем:

Чтобы устранить такую неопределенность нужно вынести за скобки икс в числителе и в знаменателе, далее их сократить. В полученное выражение подставить икс равное бесконечности. Пробуем.

Алгоритм вычисления лимитов

  1. Подставить точку х в выражение, следующее после знака предела. Если получается определенное число, либо бесконечность, то предел решен полностью. В противном случае имеем неопределенность: «ноль делить на ноль» или «бесконечность делить на бесконечность» и переходим к следующим пунктам инструкции.
  2. Чтобы устранить неопределенность «ноль делить на ноль» нужно разложить числитель и знаменатель на множители. Сократить подобные. Подставить точку х в выражение, стоящее под знаком предела.
  3. Если неопределенность «бесконечность делить на бесконечность», тогда выносим и в числителе, и в знаменателе x наибольшей степени. Сокращаем иксы. Подставляем значения икса из под предела в оставшееся выражение.

В этой статье Вы ознакомились с основами решения пределов, часто используемых в курсе Математического анализа. Конечно же это не все типы задач, предлагающихся экзаменаторами, а только простейшие пределы. В следующих статьях поговорим о других типах заданий, но сперва необходимо усвоить этот урок, чтобы двигаться далее. Обсудим, что делать, если есть корни, степени, изучим бесконечно малые эквивалентные функции, замечательные пределы, правило Лопиталя.

Если у Вас не получается самостоятельно решить пределы, то не паникуйте. Мы всегда рады помочь!

Пределы видео уроки для студентов

  • Урок 1. Определители
  • Урок 2. Операции над матрицами
  • Урок 3. Ранг матрицы
  • Урок 4. Обратная матрица. Матричные уравнения
  • Урок 5. Системы линейных уравнений. Формулы Крамера
  • Урок 6. Системы линейных уравнений. Метод обратной матрицы
  • Урок 7. Системы линейных уравнений. Метод Гаусса
  • Урок 8. Системы однородных линейных уравнений. Фундаментальные решения
  • Контрольная работа

  • Урок 1. Комплексные числа. Определения. Геометрические изображения комплексных чисел. Формы записи комплексных чисел
  • Урок 2. Действия над комплексными числами. Теория
  • Урок 3. Действия над комплексными числами. Практика
  • Урок 4. Уравнения в комплексных числах
  • Контрольная работа

  • Урок 1. Последовательность
  • Урок 2. Предел последовательности
  • Урок 3. Функции и их свойства
  • Урок 4. Предел функции
  • Урок 5. Первый замечательный предел
  • Урок 6. Второй замечательный предел
  • Урок 7. Непрерывность и точки разрыва функции
  • Контрольная работа

  • Урок 1. Производная. Определение. Правила вычисления производных. Таблица производных элементарных функций
  • Урок 2. Производная сложной функции
  • Урок 3. Производная функции, заданной параметрически
  • Урок 4. Производная неявной функции
  • Урок 5. Производные высших порядков
  • Урок 6. Дифференциал
  • Урок 7. Касательная и нормаль
  • Урок 8. Правило Лопиталя
  • Урок 9. Формула Тейлора
  • Контрольная работа

  • Урок 1. Общая схема исследования функции. Возрастание/убывание. Экстремумы. Выпуклость/вогнутость/точки перегиба. Асимптоты
  • Урок 2. Степенные функции и многочлены
  • Урок 3. Дробно-рациональные функции
  • Урок 4. Иррациональные функции
  • Урок 5. Тригонометрические функции
  • Урок 6. Показательные функции
  • Урок 7. Логарифмические функци
  • Контрольная работа

  • Урок 1. Табличное интегрирование
  • Урок 2. Интегрирование заменой переменной
  • Урок 3. Интегрирование по частям
  • Урок 4. Интегралы содержащие квадратный трехчлен
  • Урок 5. Интегрирование рациональных функций
  • Урок 6. Интегрирование иррациональных функций
  • Урок 7. Интегрирование тригонометрических функций
  • Урок 8. Смешанные примеры на интегрирование
  • Контрольная работа

  • Координаты на прямой и на плоскости
  • Расстояние
  • Уравнение прямой
  • Окружность
  • Эллипс
  • Гипербола
  • Парабола

  • Координаты в пространстве
  • Расстояние
  • Уравнение прямой
  • Уравнение плоскости
  • Поверхности второго порядка

  • Векторы
  • Действия над векторами
  • Линейная независимость
  • Разложение векторов
  • Скалярное произведение
  • Векторное произведение
  • Смешанное произведение

Высшая математика состоит из большого количества разделов, и пробелы в любом из них несут проблемы в остальных. Поэтому времени «на раскачку» нет, надо сразу включаться в работу и закрывать возникающие вопросы. В первую очередь высшая математика — это умение решать задачи. По своему опыту могу сказать, что любому студенту, владеющему базовыми школьными знаниями математики на должном уровне, по силам освоить и высшую.

Ссылка на основную публикацию
Adblock
detector