Dmitriytishanskiy.ru

Онлайн уроки
4 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Решение логарифмических неравенств онлайн с подробным решением

Сложные логарифмические неравенства

Среди всего многообразия логарифмических неравенств отдельно изучают неравенства с переменным основанием. Они решаются по специальной формуле, которую почему-то редко рассказывают в школе:

log k ( x ) f ( x ) ∨ log k ( x ) g ( x ) ⇒ ( f ( x ) − g ( x )) · ( k ( x ) − 1) ∨ 0

Вместо галки «∨» можно поставить любой знак неравенства: больше или меньше. Главное, чтобы в обоих неравенствах знаки были одинаковыми.

Так мы избавляемся от логарифмов и сводим задачу к рациональному неравенству. Последнее решается намного проще, но при отбрасывании логарифмов могут возникнуть лишние корни. Чтобы их отсечь, достаточно найти область допустимых значений. Если вы забыли ОДЗ логарифма, настоятельно рекомендую повторить — см. «Что такое логарифм».

Все, что связано с областью допустимых значений, надо выписать и решить отдельно:

f ( x ) > 0; g ( x ) > 0; k ( x ) > 0; k ( x ) ≠ 1.

Эти четыре неравенства составляют систему и должны выполняться одновременно. Когда область допустимых значений найдена, остается пересечь ее с решением рационального неравенства — и ответ готов.

Задача. Решите неравенство:

Для начала выпишем ОДЗ логарифма:

Первые два неравенства выполняются автоматически, а последнее придется расписать. Поскольку квадрат числа равен нулю тогда и только тогда, когда само число равно нулю, имеем:

x 2 + 1 ≠ 1;
x 2 ≠ 0;
x ≠ 0.

Получается, что ОДЗ логарифма — все числа, кроме нуля: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). Теперь решаем основное неравенство:

Выполняем переход от логарифмического неравенства к рациональному. В исходном неравенстве стоит знак «меньше», значит полученное неравенство тоже должно быть со знаком «меньше». Имеем:

(10 − ( x 2 + 1)) · ( x 2 + 1 − 1) 2 ) · x 2 2

Задача. Решите неравенство:

Найдем область определения (ОДЗ) первого логарифма:

Решаем методом интервалов. Находим нули числителя:

3 x − 2 = 0;
x = 2/3.

Читать еще:  Распознавание шрифта онлайн кириллица

Затем — нули знаменателя:

Отмечаем нули и знаки на координатной стреле:

Получаем x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞). У второго логарифма ОДЗ будет таким же. Не верите — можете проверить. Теперь преобразуем второй логарифм так, чтобы в основании стояла двойка:

Как видите, тройки в основании и перед логарифмом сократились. Получили два логарифма с одинаковым основанием. Складываем их:

log 2 ( x − 1) 2 2 2 .

Получили стандартное логарифмическое неравенство. Избавляемся от логарифмов по формуле. Поскольку в исходном неравенстве стоит знак «меньше», полученное рациональное выражение тоже должно быть меньше нуля. Имеем:

( f ( x ) − g ( x )) · ( k ( x ) − 1) 2 − 2 2 )(2 − 1) 2 − 2 x + 1 − 4 2 − 2 x − 3

Логарифмические неравенства

Например: log3 ( x 2 — 3 x + 3) > 1.

При решении логарифмических неравенств помним:

общие свойства неравенств;

свойства монотонности логарифмической функции;

область определения логарифмической функции.

Основные методы решения логарифмических неравенств

Примеры решения логарифмических неравенств

Решить неравенство log2 ( x 2 + 3 x ) ≤ 2 .

Так как основа логарифма 2 > 1, то используем третий метод для решения неравенства

log2 ( x 2 + 3 x ) ≤ 2 => 0 2 + 3 x ≤ 2 2 => x 2 + 3 x ≤ 4 x 2 + 3 x > 0 => x 2 + 3 x -4 ≤ 0 x ( x + 3) > 0 => ( x + 4)( x -1) ≤ 0 x ( x + 3) > 0

Найдем общее решение:

Ответ: x ∈ [-4; -3) ∪ (0; 1].

Решить неравенство log x — 3 ( x — 1) x — 1 2 x — 3 > 1 x — 1 > 0 x — 1 > ( x — 3) 2 0 => x — 1 2 — 6 x + 9 x > 4 x > 1 x — 1 > x 2 — 6 x + 9 3 => x 2 — 7 x + 10 > 0 x > 4 x 2 — 7 x + 10 3 => ( x — 2)( x -5) > 0 x > 4 ( x — 2)( x -5) 3 => x ∈ (-∞; 2) ∪ (5; +∞) x > 4 x ∈ (2; 5) 3 => x ∈ (5; +∞) x ∈ (3; 4) => x ∈ (3; 4) ∪ (5; +∞)

Ответ: x ∈ (3; 4) ∪ (5; +∞).

Решить неравенство log 2 0.5 x + log0.5 x — 2 ≤ 0 .

Сделаем замену log0.5 x = t

Вернемся обратно к переменной x и с учетом ОДЗ решим неравенство:

Читать еще:  Розыгрыш онлайн в инстаграме

t ≥ -2 t ≤ 1 => log0.5 x ≥ -2 log0.5 x ≤ 1 =>

Так как основа логарифма 0.5 x ≤ 0.5 -2 x ≥ 0.5 1 => x ≤ 4 x ≥ 0.5

Решить неравенство: log0.4 x + log0.4 ( x — 1) ≥ log0.4 ( x + 3) .

ОДЗ: x > 0 x — 1 > 0 x + 3 > 0 => x > 0 x > 1 x > -3 => x > 1

Используя свойство, суммы логарифмов, перепишем неравенство:

Так как основа логарифма 0.4 x ( x — 1) ≤ x + 3 x > 1 => x 2 — x ≤ x + 3 x > 1 => x 2 — 2 x — 3 ≤ 0 x > 1 => ( x + 1)( x — 3) ≤ 0 x > 1

Найдем общее решение:

Решить неравенство: (3 — 2 x ) log0.1 x 0

Найдем нули функции, стоящей в левой части неравенства:

(3 — 2 x ) log0.1 x = 0 => 3 — 2 x = 0 log0.1 x = 0 => x = 1.5 x = 1

Используя метод интервалов найдем решение:

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Ссылка на основную публикацию
Adblock
detector