Множество значений онлайн

wiki.eduVdom.com

Инструменты пользователя

Инструменты сайта

Боковая панель

Математика:

Контакты

Содержание

Нахождение множества значений функции

Обозначения

Способы нахождения областей значений функций.

Рассмотрим некоторые из них.

Используя производную

Общий подход к нахождению множества значений непрерывной функции f(x) заключается в нахождении наибольшего и наименьшего значения функции f(x) в области ее определения (или в доказательстве того, что одно из них или оба не существуют).

В случае, если нужно найти множества значений функции на отрезке:

Если областью определения функции является интервал, то используется та же схема, но вместо значений на концах используются пределы функции при стремлении аргумента к концам интервала. Значения пределов из не входят в множество значений.

Метод границ/оценок

Для нахождения множества значений функции сначала находят множество значений аргумента, а затем отыскивают соответствующие наименьше и наибольшее значения функции функции. Используя неравенства — определяют границы.

Суть состоит в оценке непрерывной функции снизу и сверху и в доказательстве достижения функцией нижней и верхней границы оценок. При этом совпадение множества значений функции с промежутком от нижней границы оценки до верхней обуславливается непрерывностью функции и отсутствием у неё других значений.

Свойства непрерывной функции

Другой вариант заключается в преобразовании функции в непрерывную монотонную, тогда используя свойства неравенств оценивают множество значений вновь полученной функции.

Последовательное нахождение значений сложных аргументов функции

Основан на последовательном отыскании множества значений промежуточных функций, из которых составлена функция

Области значений основных элементарных функций

Примеры

Найдите множество значений функции:

Используя производную

Находим область определения: D(f)=[-3;3], т.к. $9-x^<2>geq 0$

f'(x) = 0, если x = 0. f'(x) не существует, если $sqrt<9-x^<2>>=0$ то есть при x = ±3. Получаем три критические точки: x₁ = –3, x₂ = 0, x₃ = 3, две из которых совпадают с концами отрезка. Вычислим: f(–3) = 0, f(0) = 3, f(3) = 0. Таким образом, наименьшее значение f(x) равно 0, наибольшее значение равно 3.

НЕ используя производную

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции:

Если решать эту задачу с помощью производных, то потребуется преодолевать препятствия, связанные с тем, что функция f(x) определена не на отрезке, а на всей числовой прямой.

Используя метод границ/оценок

Из определения синуса следует, $-1leqsinleq 1$. Далее воспользуемся свойствами числовых неравенств.

$-4leq — 4sinleq 4$, (умножили все три части двойного неравенства на -4);

$1leq 5 — 4sinleq 9$ (прибавили к трем частям двойного неравенства 5);

Так как данная функция непрерывна на всей области определения, то множество ее значений заключено между наименьшим и наибольшим ее значением на всей области определения, если таковые существуют.

В данном случае множество значений функции $y = 5 — 4sin$ есть множество [1; 9].

Из неравенств $$ \ -1leqcos<7x>leq 1 \ -5leq 5cosleq 5 $$ получим оценку $$\ -6leq yleq 6$$

При x = р и x = 0 функция принимает значения -6 и 6, т.е. достигает нижней и верхней границы оценки. Как линейная комбинация непрерывных функций cos(7x) и cos(x), функция y непрерывна на всей числовой оси, поэтому по свойству непрерывной функции она принимает все значения с -6 до 6 включительно, и только их, так как в силу неравенств $-6leq yleq 6$ другие значения у неё невозможны.

Следовательно, E(y) = [-6;6].

$$ \ -1leqsinleq 1 \ 0leqsin^<2>leq 1 \ 0leq2sin^<2>leq 2 \ 1leq1+2sin^<2>leq 3 $$ Ответ: E(f) = [1; 3].

$$ \ -infty 2 (x): $$\ f^<2>(x)=4+2sqrt<4-x^<2>>$$ Проведя рассуждения, аналогичные приведенным выше, получим, что E(f 2 ) = [4; 8].

Тогда $E(f) = [2;2sqrt<2>]$ (здесь учтено, что f > 0).

Преобразуем выражение $$ \ sin + cos = sin + sin(frac <2>— x) = \ 2sinleft ( <2>— x><2>> right )cosleft ( <2>+ x><2>> right ) \ = 2sin(frac<4>)cos(x +frac<4>) = sqrt<2>cos(x +frac<4>) $$.

Из определения косинуса следует $$ \ -1leqcosleq 1; \ -1leq cos<(x + frac<4>)>leq 1; \ -sqrt<2>leq sqrt<2>cos<(x +frac<4>)>leqsqrt<2>; $$

Так какданная функция непрерывна на всей области определения, то множество ее значений заключено между наименьшим и наибольшим ее значением, если таковые существуют, множество значений функции $y =sqrt<2>cos(<4>>)$ есть множество $[-sqrt<2>;sqrt<2>]$.

Множество значений функции $y = sin + cos$ есть множество чисел $[-sqrt<2>;sqrt<2>]$.

Используя непрерывную функцию

Найдем область определения данной функции. $$ \ 10х — х^ <2>-25geq 0; \ -(х — 5)^<2>geq 0; \ (х — 5)^<2>geq 0; $$ Откуда х = 5. Таким образом область определения данной функции состоит из одного числа, следовательно, множество значений функции состоит из одного числа и Е(у) = <11>.

Решим этот пример методом последовательного нахождения значений сложных аргументов функции. Выделив полный квадрат под логарифмом, преобразуем функцию

И последовательно найдём множества значений её сложных аргументов:

Обозначим $t = 5 – (3^+1)^<2>$, где -∞≤t≤4. Тем самым задача сводится к нахождению множества значений функции $y = log_<0,5>$ на луче (-∞;4). Так как функция $y = log_<0,5>$ определена лишь при t > 0 , то её множество значений на луче (-∞;4) совпадает со множеством значений функции на интервале (0;4), представляющем собой пересечение луча (-∞;4) с областью определения (0;+∞) логарифмической функции. На интервале (0;4) эта функция непрерывна и убывает. При t > 0 она стремится к +∞, а при t = 4 принимает значение -2, поэтому E(y) = (-2, +∞).

Используем прием, основанный на графическом изображении функции.

После преобразований функции, имеем: y 2 + x 2 = 25, причем y ≥ 0, |x| ≤ 5.

Следует напомнить, что $x^<2>+y^<2>=r^<2>$ — уравнение окружности радиуса r.

При этих ограничениях графиком данного уравнения является верхняя полуокружность с центром в начале координат и радиусом, равным 5. Очевидно, что E(y) = [0; 5].

Область определения функции

Данный калькулятор позволит найти область определения функции онлайн.
Область определения функции y=f(x) – это множество всех значений аргумента x, на котором задана функция. Другими словами, это все x, для которых могут существовать значения y. На графике областью определения функции является промежуток, на котором есть график функции.
Область определения функции f(x), как правило, обозначается как D(f). Принадлежность к определенному множеству обозначается символом ∈, а X – область определения функции. Таким образом, формула x∈X означает, что множество всех значений x принадлежит к области определения функции f(x).
Приведем примеры определения основных элементарных функций. Областью определения постоянной функции y=f(x)=C является множество всех действительных чисел. Когда речь идет о степенной функции y=f(x)=xa, область определения зависит от показателя степени данной функции. При нахождении области определения функции y=f(x)= √(n&x) (корень n-ой степени) следует обращать внимание на четность или нечетность n.
Областью определения логарифмической функции являются все положительные действительные числа, и она не зависит от основания логарифма. Областью определения показательной функции, также как и у постоянной функции, является множество всех действительных чисел.

Областью определения сложных функций y=f1(f2(x)) является пересечение двух множеств: x∈D(f2) и множества всех x, для которых f2(x) ∈ D(f1). Следовательно, для того чтобы найти область определения сложной функции, необходимо решить систему неравенства.
Преимуществом онлайн калькулятора является то, что Вам нет необходимости знать и понимать, как находить область определения функции. Чтобы получить ответ, укажите функцию, для которой Вы хотите найти область определения. Основные примеры ввода функций для данного калькулятора указаны ниже.

• : x^a

• : Sqrt[x]
• : x^(1/n)
• : a^x
• : Log[a, x]
• : Log[x]
• : cos[x] или Cos[x]

Предложения и пожелания пишите на [email protected]

Поделитесь этим калькулятором на форуме или в сети!

Это помогает делать новые калькуляторы.